(簡略化あり)最初に手札に欲しいカードが実際に来る確率について

確率の話その2

前回(http://iwashipoke.diarynote.jp/201805080446418796/)と同様に、
60枚のカードは全て区別できるという条件のもとで最初にバトル場に出したいポケモンが手札の7枚に含まれる確率を計算してみます。ここでは簡単にするため、引き直しは考えずに最初の7枚にあるかどうかだけ考えます。
以下、バトル場に出したいカードを☆とします。

大まかな考え方として、求めたい確率は
(手札7枚の中に☆が少なくとも1枚はある場合の数)/(全場合の数)
となります。

今回の(全場合の数)は、デッキ60枚から手札7枚を引いたときのカードの組み合わせの数になります。
そのため、
(全場合の数)=(手札7枚のカードの組み合わせの数)=60C7
となります。
サイドのときと同様に手札に来たカードの順番は関係なく、どのカードが来たか、というところに注目すればよいので、組み合わせの数になります。


次に(手札7枚の中に☆が少なくとも1枚はある場合の数)については、☆がデッキに何枚入っているか(1~4枚)で場合の数が変わってきます。
まず☆が1枚だけの場合について考えると、☆が手札7枚の中にあればいいので、
☆を手札7枚のうちの1枚に固定して、残り6枚を59枚から選ぶ組み合わせの数になります。
よって☆が1枚の場合は、
(手札7枚の中に☆が少なくとも1枚はある場合の数)=
(☆を手札のうち1枚に固定する場合の数)×(59枚から6枚を選ぶ組み合わせの数)
=59C6
となります。

そのため、☆が1枚のときに最初の手札に来る確率は、
(手札7枚の中に☆が少なくとも1枚はある場合の数)/(全場合の数)
=59C6/60C7=7/60 ~ 12%
となります。
オドリドリなどピン差しのカードが最初に手札に来る確率として考えると、割と体感に近い気がします。

次に☆が2枚の場合、(手札7枚の中に☆が少なくとも1枚はある場合の数)は、
①☆が1枚だけ手札にある
②☆が2枚とも手札にある
の2通りが含まれるため、場合分けして計算するか、余事象を用いて考える必要があります。
計算が楽なので余事象を用いると、求めたい確率は
1-(☆が1枚も手札に来ない場合の数)/(全場合の数)
となります。
(☆が1枚も手札に来ない場合の数)は、(60-☆の枚数)C7
となるので、☆が2のときの求めたい確率は、
1-58C7/60C7=0.221~21%
となります。
(コンビネーションの計算は
https://keisan.casio.jp/exec/system/1161228812
でしました)

同様にして☆が3枚、4枚の場合は、
☆が3枚の場合
1-57C7/60C7=0.315~32%

☆が4枚の場合
1-56C7/60C7=0.399~40%

となります。(場合分けして計算しても同じ結果になりました)

4枚入れて最初の手札に来る確率が40%なのは低いような気もしますが、ニンフィア単のデッキを使って引き直しをしない確率、または最初の手札にハイパーボールが1枚はある確率が40%と考えると、体感的にもこの程度かなあと思います。

(補足)☆の枚数ところをカプテテフGX,ハイパーボール,プラターヌはかせといったドローソースに成り得るものの合計枚数(式を書く関係上nとします)として
1-(60-n)C7/60C7
を計算すると、ターン開始のドローを除いた最初の手札にドローソースが来る確率になります。(ポケモンがカプテテフGXだけだったりトレーナーズポストやバトルコンプレッサーを絡めたりする場合は考えてないので目安程度ですが)

※最初にバトル場に出したいポケモンが来る確率まで考えると、条件付き確率の話になるので時間のあるときに別記事で書きます。

5/15追記
☆が2~4枚のときは余事象を用いた方が楽だったので書き直しました